Introduzindo Números e as Quatro Operações Fundamentais

Vamos começar este tópico reproduzindo a citação de um amigo:

"A Matemática é a arte de reescrever os números em diferentes formas, sem mudar seus valores" (Marcos Lohmann)

Assim é desenvolver as diferentes operações matemáticas, reescrevendo e reordenando os números de modo que se possa demonstrar seus valores em diferentes modos, por exemplo, é possível reescrever o numero 4 na forma de 2x2, 1+3, 8÷2, 5-1 e em muitas outras maneiras, a um nível de abstração de lembrar que também pode ser 4+0, 4-0, 4x1 ou 4÷1 e isso é, de certo modo, trivial para alguns e impensável para outros, depende muito de como foi sua introdução à matemática. Mas é quando a matemática ganha maior complexidade e, principalmente, quando os literais são introduzidos que esta habilidade pode fazer falta, por isso é tão importante nas fases mais preliminares da educação matemática cultivar a abstração e a liberdade na "brincadeira" com os numerais.

Introduzindo a linguagem dos números

símbolos antigos

Os numerais são, em essência, símbolos que representam quantidades.
Ao longo da evolução humana os diferentes núcleos/povos desenvolveram a necessidade de se comunicarem com seus pares e de perpetuar a informação; de modo sintético, assim surgiu a linguagem escrita e, conseqüentemente seus símbolos. Egípsios, sumérios, árabes, hindus, romanos, chineses entre outros, cada um desenvolveu seu próprio código de símbolos, alguns dos quais caíram em desuso ao longo do tempo e outros que ganharam maior número de adeptos, tanto para a escrita textual quanto para registros matemáticos.

Algarismos hindu-arábicos

Enfocando a linguagem matemática, o código mais amplamente utilizado pela humanidade atualmente é o hindu-arábico, que permite o tratamento do sistema decimal (dez algarismos de 0 a 9), porém a linguagem matemática não se resume aos algarismos, mas também a um outro conjunto imenso de símbolos que nos permitem criar interações entre os números: agregação, comparação, critérios e muito mais, entre as quais se encontram as quatro operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão.
O domínio da linguagem é essencial ao desenvolvimento do indivíduo e seu meio, por isso é necessário um bom trabalho introdutório que dê conforto e segurança às crianças em utilizar a linguagem corretamente.   
Seguindo esta linha, sugerimos a seguinte aproximação sobre as quatro operações fundamentais, ao mesmo tempo em que apresentamos os numerais (símbolos) e quantificamos seus valores:

Adição e Subtração (contagem e comparação)

brincando com blocos
de construir

A adição e a subtração são as primeiras operações, as que estão intrínsecas no intelecto humano, são habilidades naturais em todos desde o instante em que se descobrem. Desde os primeiros movimentos, nas experiências de juntar ou separar bloquinhos de construir já praticamos estas operações, ao somar ou adicionar peças a um conjunto aumentamos seu tamanho e seu valor diante de nossa própria percepção. Aprendemos a comparar o tamanho dos conjuntos de blocos e descobrimos os conceitos de "maior" e "menor" sem ainda verbalizar. Ao subtrair blocos descobrimos que ficam menores e ao adicionar blocos ficam maiores.

material dourado

É quando começamos a aprender a contar que estes conceitos abstratos adquirem função concreta, é o momento em que os valores passam a tomar representação numérica ou simbólica. Neste momento a aplicação do "material dourado" se mostra fundamental: é o elo entre o abstrato e o concreto, e deve ser apresentado juntamente aos numerais, de modo a criar a tríplice referência: valor-símbolo-material. Pode parecer prematuro, mas contar bloquinhos, tocá-los, agrupá-los, manuseá-los é tão ou mais importante do que contar maçãs ou bananas na folhinha de atividades, mas o que realmente constrói o conhecimento é registar o resultado da experiência prática de contar. Este é o fundamento por trás da aplicação do Ábaco na educação matemática oriental.

A ideia de elevar este contexto a "contagem" e "comparação" pode ainda ser apoiado pela teoria matemática amplamente aplicada - o conceito de "soma" e "diferença" - em que somar e contar são ações equivalentes e que comparar e diferenciar são igualmente compatíveis.
 

O zero, que é o elemento neutro da soma e subtração, também pode ser apresentado de forma concreta fazendo uso do conceito de subtração com o material dourado, ou até mesmo com os bloquinhos de construir. Ao se retirarem todos os bloquinhos de um agregado, não restam bloquinhos, assim o zero é construiído pela subtração.

Multiplicar e Dividir (acumular e repartir)

ato de repartir

Em uma abordagem mais concreta, a divisão viria antes da multiplicação. O conceito de multiplicar parece milagroso em um mundo objetivo e material de uma criança. Dividir é um ato mental, o ato de repartir. Repartir os brinquedos, o espaço, repartir um pedaço de bolo ou uma barra de chocolate, distribuir igualmente e analisar o resto, comparar as quantidades distribuídas. Esta não deixa de ser uma operação de subtração consecutiva, ou seja, retirar porções iguais repetidas vezes até que não se possa mais retirar uma porção de mesmo valor, e a quantidade de vezes que esta redução é executada é que se apresenta como o resultado da divisão.

A multiplicação é, por sua vez, o conceito contrário ao da divisão - não se trata de subtrair consecutivamente mas de se somar consecutivamente ou acumular. Ao se repartirem os bloquinhos a partir de uma grande quantidade em um grupo, um-a-um, dois-a-dois ou em qualquer outra subdivisão, a cada vez que o ciclo de distribuição se repete cada elemento do grupo acumula uma quantidade de bloquinhos. Desta forma a soma consecutiva de bloquinhos resulta na multiplicação de sua quantidade pela ordem em que são distribuídos.

A relação existente entre bloquinhos e elementos do grupo é uma relação comutativa, ou seja, podemos dizer quantos bloquinhos cada elemento possui, ou podemos dizer quantos elementos estão distribuídos entre os elementos do grupo; apresentando a relação de "todo" e "parte".

Nesta fase é importante apresentar o elemento neutro da divisão e da multiplicação, o "um", e esclarecer que "dividir por um" não é a mesma coisa que "dividir com um" (que faz entender uma divisão por dois), mas reforçar o conceito de repartir ou acumular em porções iguais; assim sendo, repartir em uma porção é o mesmo que não repartir, bem como "multiplicar uma vez" não é "acumular mais uma vez", mas sim passar apenas uma vez pelo ciclo de acúmulo.

Conduzindo ao conhecimento

jogos didáticos

Dar ao aluno, em qualquer fase, a oportunidade de experimentar ou materializar o conhecimento é essencial para sua absorção. Para isso a utilização de jogos, objetos manipuláveis, construções sólidas e até mesmo trabalhar a experiência prévia/externa da criança podem ser artifícios de grande valor a agregar ao trabalho em sala de aula. A velha pergunta "para quê vou usar isso?" merece uma resposta empolgante para que a criança não perca o interesse em estudar, preparação é essencial.