Uma breve história dos números

Aula tema: História da Matemática
Público alvo: alunos de 5^o ano Fundamental

contagem nos dedos

A primeira calculadora da história da humanidade, e que existe até hoje, é composta pelos dedos das duas mãos. Com os dedos nos tornamos capazes de contar, calcular, reproduzir e demonstrar valores seguindo regras simples de sinais comuns a todas as pessoas, e é também a forma como somos apresentados pela primeira vez ao universo dos números. Naturalmente aprendemos a contagem pelo sistema decimal, por possuirmos dez dedos nas mãos, e também é por este motivo que usamos a palavra "dígito", que significa "dedo" em latim, para designar algarismos. Mas antes de chegarmos ao sistema decimal, conforme conhecemos hoje, outros sistemas numéricos foram utilizados, dos quais destacaremos alguns mais importantes e detalharemos um pouco mais a seguir:

Sistema Sexagesimal

contagem manual no sistema sexagesimal

Este sistema foi criado pela civilização Suméria por volta de 3500 anos a.C., e utiliza a base 60 para o ciclo de contagem, assim como o sistema horário cuja subdivisão é em 60 minutos por hora e 60 segundos por minuto.
A base 60 teria sido adotada também por uma questão anatômica, pois em uma das mãos se poderia contar as falages opostas ao polegar, e na outra mão cada dedo representaria uma dúzia, assim, a soma das duas mãos resulta em 5 dúzias, que é igual a 60.

 

Sistema Romano

Símbolo	Nome	Valor
I	unus	1 (um)
V	quinque	5 (cinco)
X	decem	10 (dez)
L	quinquaginta	50 (cinquenta)
C	centum	100 (cem)
D	quingenti	500 (quinhentos)
M	mille	1000 (mil)

Este sistema foi desenvolvido na Roma Antiga por volta de 300 anos a.C., e por muito tempo foi o sistema predominante na península ibérica, a região mais proeminente da época.
Uma curiosidade sobre o sistema romano é que este não possui uma representação para o número zero, uma vez que os romanos conheciam apenas o inicio do sistema de contagem inteira a partir de 1, ou seja, não se fazia contagem alguma antes de 1.

 

 

Sistema Binário

sistema binário na informática

Este sistema é mais recente que o próprio sistema decimal e foi desenvolvido para suportar sistemas eletrônicos digitais, uma vez que estes sistemas trabalham com correntes elétricas que podem ser medida entre sinal positivo (+) ou nulo (-), em que atribui-se a estas medidas os numeros 1 e 0.
Deste modo é possível registrar e manipular informações geradas por transmissão de pulsos elétricos, que por sua vez foi quem deu condições para a criação de computadores eletrônicos. 

Introduzindo Números e as Quatro Operações Fundamentais

Vamos começar este tópico reproduzindo a citação de um amigo:

"A Matemática é a arte de reescrever os números em diferentes formas, sem mudar seus valores" (Marcos Lohmann)

Assim é desenvolver as diferentes operações matemáticas, reescrevendo e reordenando os números de modo que se possa demonstrar seus valores em diferentes modos, por exemplo, é possível reescrever o numero 4 na forma de 2x2, 1+3, 8÷2, 5-1 e em muitas outras maneiras, a um nível de abstração de lembrar que também pode ser 4+0, 4-0, 4x1 ou 4÷1 e isso é, de certo modo, trivial para alguns e impensável para outros, depende muito de como foi sua introdução à matemática. Mas é quando a matemática ganha maior complexidade e, principalmente, quando os literais são introduzidos que esta habilidade pode fazer falta, por isso é tão importante nas fases mais preliminares da educação matemática cultivar a abstração e a liberdade na "brincadeira" com os numerais.

Introduzindo a linguagem dos números

símbolos antigos

Os numerais são, em essência, símbolos que representam quantidades.
Ao longo da evolução humana os diferentes núcleos/povos desenvolveram a necessidade de se comunicarem com seus pares e de perpetuar a informação; de modo sintético, assim surgiu a linguagem escrita e, conseqüentemente seus símbolos. Egípsios, sumérios, árabes, hindus, romanos, chineses entre outros, cada um desenvolveu seu próprio código de símbolos, alguns dos quais caíram em desuso ao longo do tempo e outros que ganharam maior número de adeptos, tanto para a escrita textual quanto para registros matemáticos.

Algarismos hindu-arábicos

Enfocando a linguagem matemática, o código mais amplamente utilizado pela humanidade atualmente é o hindu-arábico, que permite o tratamento do sistema decimal (dez algarismos de 0 a 9), porém a linguagem matemática não se resume aos algarismos, mas também a um outro conjunto imenso de símbolos que nos permitem criar interações entre os números: agregação, comparação, critérios e muito mais, entre as quais se encontram as quatro operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão.
O domínio da linguagem é essencial ao desenvolvimento do indivíduo e seu meio, por isso é necessário um bom trabalho introdutório que dê conforto e segurança às crianças em utilizar a linguagem corretamente.   
Seguindo esta linha, sugerimos a seguinte aproximação sobre as quatro operações fundamentais, ao mesmo tempo em que apresentamos os numerais (símbolos) e quantificamos seus valores:

Adição e Subtração (contagem e comparação)

brincando com blocos
de construir

A adição e a subtração são as primeiras operações, as que estão intrínsecas no intelecto humano, são habilidades naturais em todos desde o instante em que se descobrem. Desde os primeiros movimentos, nas experiências de juntar ou separar bloquinhos de construir já praticamos estas operações, ao somar ou adicionar peças a um conjunto aumentamos seu tamanho e seu valor diante de nossa própria percepção. Aprendemos a comparar o tamanho dos conjuntos de blocos e descobrimos os conceitos de "maior" e "menor" sem ainda verbalizar. Ao subtrair blocos descobrimos que ficam menores e ao adicionar blocos ficam maiores.

material dourado

É quando começamos a aprender a contar que estes conceitos abstratos adquirem função concreta, é o momento em que os valores passam a tomar representação numérica ou simbólica. Neste momento a aplicação do "material dourado" se mostra fundamental: é o elo entre o abstrato e o concreto, e deve ser apresentado juntamente aos numerais, de modo a criar a tríplice referência: valor-símbolo-material. Pode parecer prematuro, mas contar bloquinhos, tocá-los, agrupá-los, manuseá-los é tão ou mais importante do que contar maçãs ou bananas na folhinha de atividades, mas o que realmente constrói o conhecimento é registar o resultado da experiência prática de contar. Este é o fundamento por trás da aplicação do Ábaco na educação matemática oriental.

A ideia de elevar este contexto a "contagem" e "comparação" pode ainda ser apoiado pela teoria matemática amplamente aplicada - o conceito de "soma" e "diferença" - em que somar e contar são ações equivalentes e que comparar e diferenciar são igualmente compatíveis.
 

O zero, que é o elemento neutro da soma e subtração, também pode ser apresentado de forma concreta fazendo uso do conceito de subtração com o material dourado, ou até mesmo com os bloquinhos de construir. Ao se retirarem todos os bloquinhos de um agregado, não restam bloquinhos, assim o zero é construiído pela subtração.

Multiplicar e Dividir (acumular e repartir)

ato de repartir

Em uma abordagem mais concreta, a divisão viria antes da multiplicação. O conceito de multiplicar parece milagroso em um mundo objetivo e material de uma criança. Dividir é um ato mental, o ato de repartir. Repartir os brinquedos, o espaço, repartir um pedaço de bolo ou uma barra de chocolate, distribuir igualmente e analisar o resto, comparar as quantidades distribuídas. Esta não deixa de ser uma operação de subtração consecutiva, ou seja, retirar porções iguais repetidas vezes até que não se possa mais retirar uma porção de mesmo valor, e a quantidade de vezes que esta redução é executada é que se apresenta como o resultado da divisão.

A multiplicação é, por sua vez, o conceito contrário ao da divisão - não se trata de subtrair consecutivamente mas de se somar consecutivamente ou acumular. Ao se repartirem os bloquinhos a partir de uma grande quantidade em um grupo, um-a-um, dois-a-dois ou em qualquer outra subdivisão, a cada vez que o ciclo de distribuição se repete cada elemento do grupo acumula uma quantidade de bloquinhos. Desta forma a soma consecutiva de bloquinhos resulta na multiplicação de sua quantidade pela ordem em que são distribuídos.

A relação existente entre bloquinhos e elementos do grupo é uma relação comutativa, ou seja, podemos dizer quantos bloquinhos cada elemento possui, ou podemos dizer quantos elementos estão distribuídos entre os elementos do grupo; apresentando a relação de "todo" e "parte".

Nesta fase é importante apresentar o elemento neutro da divisão e da multiplicação, o "um", e esclarecer que "dividir por um" não é a mesma coisa que "dividir com um" (que faz entender uma divisão por dois), mas reforçar o conceito de repartir ou acumular em porções iguais; assim sendo, repartir em uma porção é o mesmo que não repartir, bem como "multiplicar uma vez" não é "acumular mais uma vez", mas sim passar apenas uma vez pelo ciclo de acúmulo.

Conduzindo ao conhecimento

jogos didáticos

Dar ao aluno, em qualquer fase, a oportunidade de experimentar ou materializar o conhecimento é essencial para sua absorção. Para isso a utilização de jogos, objetos manipuláveis, construções sólidas e até mesmo trabalhar a experiência prévia/externa da criança podem ser artifícios de grande valor a agregar ao trabalho em sala de aula. A velha pergunta "para quê vou usar isso?" merece uma resposta empolgante para que a criança não perca o interesse em estudar, preparação é essencial.

O Ábaco

Ábaco Chinês (Suan Pan)

Sobre o ábaco pode-se dizer que foi o primeiro instrumento para calcular da história da humanidade. O registro mais antigo que se conhece dos modelos atuais deste instrumento data do século XIV, em uma publicação chinesa da Dinastia Yuan, onde um diagrama descreve o assim conhecido "Suan Pan", ou "prato de calcular", como um quadro equipado com varetas, cada uma delas representando uma ordem de grandeza, divididas em duas partes: uma delas com cinco contas de valor unitário e a outra com apenas duas contas que representam cinco unidades cada uma. Por causa desta configuração este modelo ficou também conhecido como "ábaco 2/5" e permaneceu inalterado até meados do século XVIII. O modelo atualizado do Suan Pan tem apenas uma conta na divisão superior (de valor agrupado), sendo mais fácil e rápido de manipular, também conhecido como "ábaco 1/5".

Ábaco Azteca (Nepohualtzitzin)

Apesar do registro mais antigo ser dos chineses, há indícios de que os aztecas já teriam um modelo de ábaco (Nepohualtzitzin) composto por sete contas em treze varetas, possivelmente datado do século X, disposto desta maneira em virtude da contagem do tempo e de crenças sagradas em torno dos números sete e treze por este povo. Era confeccionado com grãos de milho transpassados por cordeis.

Mas a ideia do ábaco remonta a era anterior a Cristo. Há registros de tipos mais rudimentares do ábaco, a exemplo do ábaco mesopotâmico, de 2700 anos a.C. que era construído sobre uma pedra plana com uma fina camada de areia, onde seixos eram utilizados para agrupar ou operar valores. Os egípsios e os babilônios também teriam uma forma de ábaco, mas os indícios não são comprobatórios. Uma tábua de mármore com marcações (linhas divisórias) foi encontrado na Grécia, e estudos mostram que este poderia ser um outro modelo de ábaco datado de 300 anos a.C.  

Ábaco Japones (Soroban)

Os japoneses, por volta do século XVII, adotaram uma versão adaptada do ábaco 1/5, que chamaram de "Soroban", este com apenas quatro contas na divisão dos unitários de modo a possibilitar o trabalho com o sistema decimal de maneira mais apropriada pois permite a construção de valores entre zero e nove em cada vareta. O Soroban é até hoje o ábaco mais popular no Japão e também é conhecido, por sua configuração, como "ábaco 1/4".

Ábaco Russo (Schoty)

Os russos também inventaram seu próprio ábaco por volta do século XVII. Chamado "Schoty", é operado de forma um pouco diferente dos ábacos orientais. Este não tem a divisão física entre contas de valor unitário e valor agrupado, em vez disso todas as contas são unitárias e são em número de dez por vareta e deslizam ao longo de toda a vareta de modo que basta se fazer a contagem direta das contas deslocadas em cada linha para se obter o valor.

Ábacos Romanos

Os romanos por sua vez desenvolveram um modelo de ábaco baseado em seu próprio sistema numérico. Por volta do século XIII, um modelo mais rudimentar do ábaco romano constituido por uma placa de barro com sete sulcos, cada um respectivo a um determinado numeral (I, V, X, L, C, D, M) e mais tarde um modelo mais avançado capaz de lidar inclusive com frações. A palavra "cálculo" tem origem no ábaco romano, uma vez que as pequenas esferas utilizadas no instrumento recebiam o nome de "calculi".

Ábaco Escolar

O ábaco resistiu ao tempo e aos avanços tecnológicos e é amplamente utilizado como ferramenta na educação infantil pois ajuda a construir o raciocínio além do ato de contar nos dedos - é uma forma de expandir o modo natural de contar e operar com valores superiores aos limites anatômicos. Nas escolas ocidentais é adotado um modelo semelhante ao modelo russo, enquanto nas escolas orientais o ábaco ainda é utilizado de maneira inalterada. Ainda há outras versões de ábaco utilizados na educação matemática, tal como o ábaco vertical que permite a introdução ao uso de contas, retirando e recolocando as peças no campo visual, de modo a simplificar o entendimento da criança no uso do instrumento, preparando-a para as etapas mais avançadas onde as operações matemáticas de soma, subtração, multiplicação e divisão podem ser adicionadas.

Aplicativo Max-Abacus para Celular Android

Mesmo na era dos computadores de bolso ainda há quem se dobre ao encanto do ábaco.

Nosso Grupo

Ana Paula de Macedo, Alessandra Alice Guedes, Camila Sales Nascimento, Geraldina Ferreira e Lúcia de Souza Scheregatte são alunas do 6o. semestre do curso de Pedagogia na Faculdade Anhanguera de Limeira.